在一段悠然慵懒的岁月里，作者一边进行量子蒙特卡洛计算，一边读着二十四史。在量子多体中的呐喊与彷徨中看到了一丝曙光，也在历史的回味与反思中看到当今科研体制下的无奈与坚忍。“学者的贡献在于发扬真理，脱心志于俗谛之桎梏，在于铸造后起的头脑，不在于自己头上有多少帽子。
林风眠《火烧赤壁》
撰文
孟子杨
南方
有两年时间吧，我在美国南方密西西比河畔的一个大学城工作，每天看着河边水沟中的晒太阳的小鳄鱼，看着种植园般的小区边、学校里爬满藤蔓的大橡树。日子慢悠悠地过去，就连作为美国主要水路的密西西比河，到了就要进入墨西哥湾的下游，白天里也只是零零星星开过几艘货船。这里夏天闷热潮湿，冬天暖风和煦，此处的AfricanAmerican兄弟们，虽然也人高马大、身材健硕，却慢悠悠地待人和善，说话带着温和的南方口音，不像他们在北方大城市的同胞那种hood里带出来的强横。这里的风物完全满足了我之前从书本中看到的美国南方那种已经逝去的生活方式，那种乡愁的想象，就是福克纳、田纳西·威廉姆斯所营造的世界，种植园、沼泽地、爵士乐、潮湿、神秘、善良却多少有些神经质的人们。
就是在这样的地方，美则美矣，慢则慢矣，但是却时时感到孤独。我一边思考着如何把团簇动力学平均场Hubbardmodel计算从正方晶格扩展到三角晶格，用大规模计算的方法研究纯粹的金属-绝缘体临界莫特相变；一边品味着远离自己文化的孤独，毕竟连中文书都很少见到，在完全陌生的环境中看着生命一天天平静地过去。真好像诗中说的：
看样子是就这样下去了
平日里什么乐子也没有
除非在街上吃碗馄饨
有时，人生真不如一行波德莱尔
有时，波德莱尔真不如一碗馄饨
——木心《小镇上的艺术家》
这里是连馄饨都没得吃的。有一天实在穷极无聊，我在等待蒙特卡洛计算结果的间隙跑到大学图书馆里盘桓，竟然在某个无人问津落满尘土的书架上看到了中华书局上世纪70年代出版的竖排二十四史中的《宋书》《南齐书》《梁书》和《陈书》。谁能想到，在这样偏远的美国南方，一个和中国文化没有任何交集的地方，竟然有人大发善心地为图书馆买来了如此硬核的中国文化。不是什么《史记》《汉书》这样通行的经典，而是颇为小众的宋齐梁陈，南朝烟雨。这让已经被美国南方的暖风熏到精神迟钝的我足足傻站在书架前有一分多钟，大脑中的逻辑程序怎么都调不通，不能理解这些铁幕之下红色中国的硬核出版物是怎么远涉重洋来到世界的这个角落的。一分钟后回过神来，先定睛看看落地窗外的大橡树，它还在那里，遂确定没有发生时空错乱，然后也不管这些绿皮、硬壳、竖排的史书是怎么流落到此地的，一把抱起它们借出来带回家据为己有，生怕有人和我抢似的。其实我可能是几十年来第一次借这些书的人。
从此之后好一段时间，我的思维就被分散在三角晶格Hubbardmodel的金属-绝缘体相变和宋齐梁陈的生死倏忽与朝代更迭之中。随着工作和阅读的深入，我发现虽然结果都在向着好的方向前进，但不断地思考和体会的同时，我的心情从最初的欣喜慢慢变得沉重起来，影响直到今天。
近似
先说三角晶格中的莫特转变吧，这个是强关联系统中一个公认的难题。三角晶格Hubbardmodel在相互作用弱的时候有一个接近圆形的费米面，没有如正方晶格中半满的时候反铁磁（pi,pi）nesting波矢的不稳定性，是一个理想的费米液体；而在相互作用十分强的时候，因为电子电荷自由度被冻结，Hubbardmodel退化为三角晶格上的反铁磁Heisenbergmodel，而这个模型的基态为非共线的度长程序反铁磁绝缘体。那么一个显而易见的问题就是，随着HubbardU的增加，费米液体金属是怎么过渡到反铁磁长程序绝缘体的？
这个看似简单的问题其实到现在还没有公认的结果。解析计算对于这样的量子多体问题，目前看起来只能理解弱相互作用时的费米液体金属和强相互作用的反铁磁绝缘体。数值计算的量子蒙特卡洛面临符号问题，无法得到热力学极限的结果。在当时市面上的数值计算方法中，还有一种叫团簇动力学平均场，是运用量子蒙特卡洛求解器首先严格求解一个小的团簇，比如4、8、16这样的格点数，然后再将如此求得的自能和格林函数用自洽方程的方式，与热力学极限下的环境做迭代计算——将团簇上电子多体相互作用的效果传递给环境，将环境无穷大的晶格信息反馈给团簇。如此迭代以至于收敛，在自能和格林函数的戴森方程的层次上可以得到系统的一个近似的解，并且在形式上克服蒙特卡洛晶格计算的指数墙问题。这个方法，在当时看来是一个比较可行的办法。事实上，我之所以来到这所南方的大学，就是想掌握这样一种研究量子多体系统的计算方法，并用它到求解三角晶格Hubbardmodel金属-绝缘体莫特相变。
我们的计算结果如图1所示，其实已经可以相当清楚地看到相互作用是如何改变系统的能带结构。在图1（下）中画出了布里渊中高对称线上的单粒子能谱，也许是那个时候看古书的缘故，我们特意把结果画成中国画立轴的样子。随着U的增大，可以看到无相互的能带，是如何一步步展宽，谱权重是如何从紧贴着色散关系（就是我们在之前的文章中讲到的准粒子寿命无穷长）到弥散到很大的频率范围的。同时，就在U≈9t的地方，也是相互作用和费米子的带宽相似的地方，原本的一条能带被撕裂成两片分开的谱。金属到绝缘体的相变就发生在此处，费米面上再无准粒子，系统进入绝缘相。这样的结果也呼应我们在之前的文章中提到的（参见《历史的终结与最后的人
量子多体中的呐喊与彷徨之四》），相互作用的电子系统，费米面的变化可以不再遵循Luttinger定理，在图1（下）的整个变化过程中，系统的电子填充数并没有发生改变，而费米面却硬生生地消失了。
图1:（上）二维正方晶格和三角晶格上的Hubbard模型。t为电子动能，U为电子库伦排斥。（中）二维三角晶格布里渊区和不同填充数下的费米面，只有在填充数接近n=1.5时才有明显的vanHove极点和nesting，其他填充数时（如半满n=1），系统具有接近理想圆形的费米面。（下）团簇格点数为6的动力学平均场单例子谱函数计算结果，可以看到随着U的增大，能带逐渐变得模糊，谱权重逐渐从无相互作用的能带附近弥散开来。在U≈8,9t的时候，原本的一条能带断裂成两条，系统经过莫特转变从金属相进入绝缘相（数据来自文献[1]）。
但是团簇动力学平均场计算本身有一个很大的问题，那就是说到底，严格的计算只是在一个量子少体的团簇上进行，而与环境迭代的效果，使得整个计算，也就是最后收敛的自能和格林函数，实质上倾向平均场结果。如果是研究相变左右两个相各自的性质，比如费米面上准粒子权重或者对称性破缺相中序参量的局部结构，也许还是可以给出定性正确的结果；但是如果想要研究相变本身的性质，比如临界行为、涌现分数化激发和拓扑序规范场等等真正抓住问题物理实质的现象，由于计算方法本身并没有严格处理量子多体系统的配分函数，即不尊重相变点标度不变性也不尊重其共型不变性，团簇动力学平均场其实无能为力的。
也正是在通过切身的研究意识到这些本质性缺陷之后，我才开始转而投入到发展能够通过量子蒙特卡洛严格的求解晶格模型和算法设计的大潮之中，摈弃通过近似方法研究量子多体相变物理实质的念头，路越走越宽，此处先按下不表。
当然，将近10年过去了，三角晶格Hubbardmodel的莫特转变仍然是一个未解问题。最近有DMRG计算指出其实在费米液体金属和反铁磁莫特绝缘体之间还存在一个手征量子自旋液体（chiralquantumspinliquid）[2]，事实上如此的中间相一直是一种可能性，只是DMRG的计算其实也是变分计算，且只